La décomposition dynamique et la différentiabilité des feuilletages des surfaces

Gilbert Levitt

Annales de l'institut Fourier (1987)

  • Volume: 37, Issue: 3, page 85-116
  • ISSN: 0373-0956

Abstract

top
Let ℱ be a singular foliation on a compact surface M . In order to analyse the dynamics of ℱ , one can canonically cut up M into subsurfaces bounded by curves transverse to ℱ : the components of the recurrence of ℱ (quasiminial sets) are contained in the “regions of recurrence” and may be studied separately; on the other hand, the dynamics is trivial in the other regions (“regions of passage”). The paper also offers a definition of a singular foliation of classe C r on M , and studies the topological and dynamical features of C 2 (or C ∞ ) on M , and studies the topological and dynamical features of C 2 (or C ∞ ) foliations.

How to cite

top

Levitt, Gilbert. "La décomposition dynamique et la différentiabilité des feuilletages des surfaces." Annales de l'institut Fourier 37.3 (1987): 85-116. <http://eudml.org/doc/74769>.

@article{Levitt1987,
abstract = {Soit $\{\cal F\}$ un feuilletage singulier d’une surface compacte $M$. Pour analyser la dynamique de $\{\cal F\}$, on décompose $M$ de façon canonique en sous-surfaces bordées par des courbes transverses à $\{\cal F\}$ : les composantes de la récurrence de $\{\cal F\}$ (ensembles quasiminimaux) sont contenues dans les “régions de récurrence” et peuvent être étudiées séparément; par contre dans les autres régions, dites “régions de passage”, la dynamique est triviale. On propose ensuite une définition des feuilletages singuliers de classe $C^r$ sur les surfaces, et on étudie quelles restrictions l’hypothèse que $\{\cal F\}$ est $C^2$ (ou $C^\infty $) impose à la topologie et à la dynamique du feuilletage.},
author = {Levitt, Gilbert},
journal = {Annales de l'institut Fourier},
keywords = {differentiability; singular foliation on a compact surface; recurrence; quasiminimal sets},
language = {fre},
number = {3},
pages = {85-116},
publisher = {Association des Annales de l'Institut Fourier},
title = {La décomposition dynamique et la différentiabilité des feuilletages des surfaces},
url = {http://eudml.org/doc/74769},
volume = {37},
year = {1987},
}

TY - JOUR
AU - Levitt, Gilbert
TI - La décomposition dynamique et la différentiabilité des feuilletages des surfaces
JO - Annales de l'institut Fourier
PY - 1987
PB - Association des Annales de l'Institut Fourier
VL - 37
IS - 3
SP - 85
EP - 116
AB - Soit ${\cal F}$ un feuilletage singulier d’une surface compacte $M$. Pour analyser la dynamique de ${\cal F}$, on décompose $M$ de façon canonique en sous-surfaces bordées par des courbes transverses à ${\cal F}$ : les composantes de la récurrence de ${\cal F}$ (ensembles quasiminimaux) sont contenues dans les “régions de récurrence” et peuvent être étudiées séparément; par contre dans les autres régions, dites “régions de passage”, la dynamique est triviale. On propose ensuite une définition des feuilletages singuliers de classe $C^r$ sur les surfaces, et on étudie quelles restrictions l’hypothèse que ${\cal F}$ est $C^2$ (ou $C^\infty $) impose à la topologie et à la dynamique du feuilletage.
LA - fre
KW - differentiability; singular foliation on a compact surface; recurrence; quasiminimal sets
UR - http://eudml.org/doc/74769
ER -

References

top
  1. [1] T. CHERRY, Analytic quasi-periodic curves of discontinuous type on a torus, Proc. London Math. Soc., 44 (1938), 175-215. Zbl0019.11503JFM64.1141.02
  2. [2] A. DENJOY, Sur les courbes définies par les équations différentielles à la surface du tore, J. Math. Pures et Appl., 11 (1932), 333-375. Zbl58.1124.04JFM58.1124.04
  3. [3] FATHI, LAUDENBACH, POENARU, Travaux de Thurston sur les surfaces, Astérisque, 66-67 (1979), SMF Paris. Zbl0406.00016MR82m:57003
  4. [4] C. GUTIERREZ, Smoothability of Cherry flows on two-manifolds, in Geometric Dynamics, Rio 1981, Springer Lecture Notes, 1007 (1983), 308-331. Zbl0545.58039MR85h:58148
  5. [5] C. GUTIERREZ, Smoothing continuous flows and the converse of Denjoy-Schwartz theorem, Ann. Ac. Bras. de Cien., 51 (1979), 581-589. Zbl0478.58020MR81b:58036
  6. [6] GUTIERREZ, LINS, De MELO, Bifurcations of Cherry attractors, Communication orale de De Melo. 
  7. [7] A. KATOK, Invariant measures of flows on oriented surfaces, Soviet Math. Dokl., 14 (1973), 1104-1108. Zbl0298.28013
  8. [8] S. LANG, Introduction to diophantine approximation, Addison Wesley, 1966. Zbl0144.04005MR35 #129
  9. [9] G. LEVITT, Pantalons et feuilletages des surfaces, Topology, 21 (1982), 9-33. Zbl0473.57014MR83f:57017
  10. [10] G. LEVITT, Feuilletages des surfaces, Ann. Inst. Fourier, 32-2 (1982), 179-217. Zbl0454.57015MR84g:57021
  11. [11] G. LEVITT, Foliations and laminations on hyperbolic surfaces, Topology, 22 (1983), 119-135. Zbl0522.57027MR84h:57015
  12. [12] G. LEVITT, Feuilletages des surfaces, Thèse d'état, Université Paris 7, juin 1983. 
  13. [13] G. LEVITT, H. ROSENBERG, Differentiability and topology of labyrinths in the disc and annulus, Topology, 26 (1987), 173-186. Zbl0621.57013MR89e:57025
  14. [14] A. MAIER, Trajectories on the closed orientable surfaces, Math. Sb., 12 (54) (1943), 71-84 (en russe). Zbl0063.03856
  15. [15] H. ROSENBERG, Labyrinths in the disc and surfaces, Ann. of Math., 117 (1983), 1-33. Zbl0522.57028MR84h:57016
  16. [16] E. SATAEV, On the number of invariant measures for flows on orientable surfaces, Math. USSR Izv., 9 (1975), 813-830. Zbl0336.28007MR52 #12005
  17. [17] A. SCHWARTZ, A generalization of a Poincaré-Bendixson theorem to closed two-dimensional manifolds, Amer. Jour. of Math., 85 (1963), 453-458. Zbl0116.06803MR27 #5003
  18. [18] S. SCHWARTZMAN, Asymptotic cycles, Ann. of Math., 66 (1957), 270-284. Zbl0207.22603MR19,568i
  19. [19] P. STREDDER, Morse foliations, Thesis, Warwick, 1976. 
  20. [20] W. THURSTON, On the geometry and dynamics of diffeomorphisms of surfaces, preprint. Zbl0674.57008
  21. [21] E. VAN KAMPEN, The topological transformations of a simple closed curve into itself, Amer. J. Math., 57 (1935), 142-152. Zbl0011.03801JFM61.0627.02
  22. [22] W. VEECH, Quasiminimal invariants for folliations of orientable closed surfaces, preprint Rice university. Zbl0697.57012

NotesEmbed ?

top

You must be logged in to post comments.

To embed these notes on your page include the following JavaScript code on your page where you want the notes to appear.

Only the controls for the widget will be shown in your chosen language. Notes will be shown in their authored language.

Tells the widget how many notes to show per page. You can cycle through additional notes using the next and previous controls.

    
                

                
Note: Best practice suggests putting the JavaScript code just before the closing </body> tag.