Fano horospherical varieties

Boris Pasquier

Bulletin de la Société Mathématique de France (2008)

  • Volume: 136, Issue: 2, page 195-225
  • ISSN: 0037-9484

Abstract

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A horospherical variety is a normal algebraic variety where a reductive algebraic group acts with an open orbit which is a torus bundle over a flag variety. For example, toric varieties and flag varieties are horospherical. In this paper, we classify Fano horospherical varieties in terms of certain rational polytopes that generalize the reflexive polytopes considered by V. Batyrev. Then, we obtain an upper bound on the degree of smooth Fano horospherical varieties, analogus to that given by O. Debarre in the toric case. We extend a recent result of C. Casagrande: the Picard number of any Fano ℚ -factorial horospherical variety is bounded by twice the dimension.

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Pasquier, Boris. "Variétés horosphériques de Fano." Bulletin de la Société Mathématique de France 136.2 (2008): 195-225. <http://eudml.org/doc/272396>.

@article{Pasquier2008,
abstract = {Une variété horosphérique est une variété algébrique normale dans laquelle un groupe algébrique réductif opère avec une orbite ouverte fibrée en tores sur une variété de drapeaux. En particulier, les variétés toriques et les variétés de drapeaux sont horosphériques. Dans cet article, on classifie les variétés horosphériques de Fano en termes de certains polytopes rationnels qui généralisent les polytopes réflexifs considérés par V. Batyrev. Puis on obtient une majoration du degré des variétés horosphériques lisses de Fano, analogue à celle donnée par O. Debarre dans le cas torique. On étend un résultat récent de C. Casagrande : les variétés horosphériques $\mathbb \{Q\}$-factorielles de Fano ont leur nombre de Picard majoré par deux fois la dimension.},
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TY - JOUR
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EP - 225
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LA - fre
KW - Fano variety; horospherical variety; rational polytope; degree; Picard number
UR - http://eudml.org/doc/272396
ER -

References

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  1. [1] V. Alexeev & M. Brion – « Boundedness of spherical Fano varieties », in The Fano Conference, Univ. Torino, Turin, 2004, p. 69–80. Zbl1087.14028MR2112568
  2. [2] —, « Toric degenerations of spherical varieties », Selecta Math. (N.S.) 10 (2004), p. 453–478. Zbl1078.14075MR2134452
  3. [3] V. V. Batyrev – « Dual polyhedra and mirror symmetry for Calabi-Yau hypersurfaces in toric varieties », J. Algebraic Geom.3 (1994), p. 493–535. Zbl0829.14023MR1269718
  4. [4] A. A. Borisov & L. A. Borisov – « Singular toric Fano three-folds », Mat. Sb.183 (1992), p. 134–141. Zbl0786.14028MR1166957
  5. [5] N. Bourbaki – Groupes et algèbres de Lie, C.C.L.S., 1975, chapitres 7 et 8. Zbl0483.22001
  6. [6] M. Brion – « Sur l’image de l’application moment », in Séminaire d’algèbre Paul Dubreil et Marie-Paule Malliavin (Paris, 1986), Lecture Notes in Math., vol. 1296, Springer, 1987, p. 177–192. Zbl0667.58012MR932055
  7. [7] —, « Groupe de Picard et nombres caractéristiques des variétés sphériques », Duke Math. J.58 (1989), p. 397–424. Zbl0701.14052MR1016427
  8. [8] —, « Curves and divisors in spherical varieties », in Algebraic groups and Lie groups, Austral. Math. Soc. Lect. Ser., vol. 9, Cambridge Univ. Press, 1997, p. 21–34. Zbl0883.14024MR1635672
  9. [9] C. Casagrande – « The number of vertices of a Fano polytope », Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 56 (2006), p. 121–130. Zbl1095.52005MR2228683
  10. [10] J. van der Corput – « Verallgemeinerung einer Mordellschen Beweismethode in der Geometrie der Zahlen II », Acta Arith.2 (1936), p. 145–146. Zbl0015.29404
  11. [11] O. Debarre – Higher-dimensional algebraic geometry, Universitext, Springer, 2001. Zbl0978.14001MR1841091
  12. [12] —, « Fano varieties », in Higher dimensional varieties and rational points (Budapest, 2001), Bolyai Soc. Math. Stud., vol. 12, Springer, 2003, p. 93–132. Zbl1080.14521MR2011745
  13. [13] W. Fulton – Introduction to toric varieties, Annals of Mathematics Studies, vol. 131, Princeton University Press, 1993, The William H. Roever Lectures in Geometry. Zbl0813.14039MR1234037
  14. [14] R. Hartshorne – Algebraic geometry, Springer, 1977, Graduate Texts in Mathematics, No. 52. Zbl0367.14001MR463157
  15. [15] D. Hensley – « Lattice vertex polytopes with interior lattice points », Pacific J. Math.105 (1983), p. 183–191. Zbl0471.52006MR688412
  16. [16] J. E. Humphreys – Linear algebraic groups, Springer, 1975, Graduate Texts in Mathematics, No. 21. Zbl0325.20039MR396773
  17. [17] F. Knop – « The Luna-Vust theory of spherical embeddings », in Proceedings of the Hyderabad Conference on Algebraic Groups (Hyderabad, 1989), Manoj Prakashan, 1991, p. 225–249. Zbl0812.20023MR1131314
  18. [18] J. C. Lagarias & G. M. Ziegler – « Bounds for lattice polytopes containing a fixed number of interior points in a sublattice », Canad. J. Math.43 (1991), p. 1022–1035. Zbl0752.52010MR1138580
  19. [19] D. Luna & T. Vust – « Plongements d’espaces homogènes », Comment. Math. Helv.58 (1983), p. 186–245. Zbl0545.14010MR705534
  20. [20] B. Nill – « Gorenstein toric Fano varieties », Manuscripta Math.116 (2005), p. 183–210. Zbl1067.14052MR2122419
  21. [21] T. Oda – Convex bodies and algebraic geometry, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3), vol. 15, Springer, 1988, An introduction to the theory of toric varieties. Zbl0628.52002MR922894
  22. [22] B. Pasquier – « Variétés horosphériques de Fano », Thèse, Université Joseph-Fourier, Grenoble I, 2006, http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~bpasquie/these.pdf. Zbl1162.14030
  23. [23] —, « Smooth projective horospherical varieties with Picard number 1 », preprint arXiv : math/0703576, 2007. 
  24. [24] T. A. Springer – Linear algebraic groups, second éd., Progress in Mathematics, vol. 9, Birkhäuser, 1998. Zbl0453.14022MR1642713
  25. [25] D. Timashev – « Homogeneous spaces and equivariant embeddings », preprint arXiv :math.AG/0602228, 2006. Zbl1237.14057MR2797018

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