Majoration du premier zéro de la fonction zêta de Dedekind

Sami Omar

Acta Arithmetica (2000)

  • Volume: 95, Issue: 1, page 61-65
  • ISSN: 0065-1036

Abstract

top
1. Introduction et notations. Soit K un corps de nombres de degré n, de signature ( r 1 , r 2 ) et de discriminant d K . Dans [Od], A. M. Odlyzko évoque le problème de savoir l’ordre de grandeur du premier zéro de la fonction zêta de Dedekind. Dans cette direction, une conjecture a été énoncée dans [To] qui dit que la hauteur du premier zéro est majorée par C / l n ( | d K | ) où C est une constante positive qui ne dépend que de n. L’idée de cette dernière inégalité provient d’un théorème de densité (sous GRH) dû a S. Lang [La1]. Malgré les progrés numériques sur la question (voir [Om] et [To]), nous ne sommes toujours pas en mesure de confirmer expérimentalement cette conjecture. Cependant nous disposons d’un résultat théorique dû à A. Neugebauer [Ne1], [Ne2] qui montre que la hauteur du premier zéro est majorée par C / l n l n l n ( | d K | ) . Dans ce qui suit nous donnerons une amélioration de cette inégalité qui sous (GRH) aboutit à la majoration C / l n l n ( | d K | ) . L’outil crucial de la preuve, comme nous le verrons, sont les formules explicites de Weil. Dans la suite, la notation ≪ réfère à une constante absolue alors que la notation ≪ n réfère à une constante qui dépend uniquement de n.

How to cite

top

Sami Omar. "Majoration du premier zéro de la fonction zêta de Dedekind." Acta Arithmetica 95.1 (2000): 61-65. <http://eudml.org/doc/207441>.

@article{SamiOmar2000,
author = {Sami Omar},
journal = {Acta Arithmetica},
keywords = {Dedekind zeta function; zeros of the zeta function},
language = {fre},
number = {1},
pages = {61-65},
title = {Majoration du premier zéro de la fonction zêta de Dedekind},
url = {http://eudml.org/doc/207441},
volume = {95},
year = {2000},
}

TY - JOUR
AU - Sami Omar
TI - Majoration du premier zéro de la fonction zêta de Dedekind
JO - Acta Arithmetica
PY - 2000
VL - 95
IS - 1
SP - 61
EP - 65
LA - fre
KW - Dedekind zeta function; zeros of the zeta function
UR - http://eudml.org/doc/207441
ER -

References

top
  1. [Ap] T. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory, Springer, 1976. 
  2. [La1] S. Lang, On the zeta function of number fields, Invent. Math. 12 (1971), 337-345. Zbl0217.04301
  3. [La2] S. Lang, Algebraic Number Theory, Addison-Wesley, 1968. 
  4. [Me] J.-F. Mestre, Courbes elliptiques et formules explicites, dans : Seminar on Number Theory, Paris, 1981-82, Progr. Math. 38, Birkhäuser, 1983, 179-187. 
  5. [Mu] M. R. Murty, Simple zeros of L-functions, dans : Number Theory, R. Mollin (ed.), de Gruyter, 1989, 427-439. 
  6. [Mu-Mu] M. R. Murty and V. K. Murty, Non-vanishing of L-Functions and Applications, Birkhäuser, 1997. Zbl0916.11001
  7. [Ne1] A. Neugebauer, On the zeros of the Dedekind zeta function near the real axis, Funct. Approx. Comment. Math. 16 (1988), 165-167. Zbl0677.12005
  8. [Ne2] A. Neugebauer, On zeros of zeta functions in low rectangles in the critical strip, Ph.D. thesis, A. Mickiewicz University, Poznań, Poland, 1985. 
  9. [Od] A. M. Odlyzko, Bounds for discriminants and related estimates for class numbers, regulators and zeros of zeta functions: A survey of recent results, Sém. Théor. Nombres Bordeaux 2 (1990), 119-141. Zbl0722.11054
  10. [Om] S. Omar, Localization of the first zero of the Dedekind zeta function, Math. Comp., à paraître. 
  11. [Po] G. Poitou, Sur les petits discriminants, Sém. Delange-Pisot-Poitou, 18e année, 1976/77, no. 6. 
  12. [To] E. Tollis, Zeros of Dedekind zeta functions in the critical strip, Math. Comp. 66 (1997), 1295-1321. Zbl0877.11061

NotesEmbed ?

top

You must be logged in to post comments.

To embed these notes on your page include the following JavaScript code on your page where you want the notes to appear.

Only the controls for the widget will be shown in your chosen language. Notes will be shown in their authored language.

Tells the widget how many notes to show per page. You can cycle through additional notes using the next and previous controls.

    
                

                
Note: Best practice suggests putting the JavaScript code just before the closing </body> tag.